1 - Hallar analíticamente todos los
puntos del gráfico de f(x)=4x que distan 
del punto P=(1;3)
Solucion:
Para hallar la distancia del punto P a la recta f(x) vamos a utilizar la formula de distancia entre puntos, salvo que en este caso vamos a tener que darnos cuenta de que tenemos que escribir los posibles puntos solucion de la siguiente manera: Q=(x;4x) siendo Q la coordenada de un punto cualquiera perteneciente a la recta de f(x). Habiendo hecho esta aclaracion pasemos a resolverlo:
como podemos ver nos da como solucion dos puntos de la recta,
con x=0 obtengo Q1=(0;0) y con x=26/17 obtengo Q2 =(26/17;104/17).
2 - Sea la función cuadrática f(x)=2x²+12x+C. Determinar el valor de
para que f tenga un solo cero. Para
el valor de C hallado determinar intervalos de crecimiento y de decrecimiento
de f.
Solucion:
Para hallar la solucion que nos piden vamos a tener que darnos cuenta de que hay una propiedad del discriminante de las funciones cuadraticas (si no recordas el tema hace click aqui) que dice que si el discriminante es igual a cero la funcion va a tener solo una raiz o lo que tambien se llama raiz doble.
Ahora que ya tenemos nuestra funcion f(x)=2x²+12x+18 tenemos que hallar los intervalos de crecimiento y decrecimiento, para esto vamos a averiguar cual es el valor de coordenada del vertice, sabiendo que V=(Xv; Yv) es el vertice, para hallar el Xv uso la siguiente expresion Xv= -b/2a
Xv=-12/4 => Xv= -3 para saber el valor de Yv evaluo la funcion en el valor de Xv, con lo cual nos da
f(Xv)=2(-3)²+12(-3)+18
f(Xv)=2.9 - 36 + 18
f(Xv)=18 - 36 + 18
f(Xv)= 0 = Yv
Ahora si analizamos el signo de ''a'' que en este caso a=2 y tiene signo positivo, la forma que va a tener la grafica de f(x) es como una ''U'', sabiendo esto es facil darnos cuenta de que:
intervalo de decrecimiento = (-infinito; -3)
intervalo de crecimiento = (-3; +infinito)
3 - Sea f(x)=2x+1 , g(x)=1/(x+2) y h=fog. Hallar |xER/h(x)=5|
Solucion:
Este ejercicio nos pide que hagamos una composicion de funciones, comencemos primero por hallar la expresion de h.
ahora nos piden que hallemos los valores de ''x'' tal que h(x)=5, pero observemos bien que en realidad nos pide que el modulo sea igual a 5.
4- Sea F(x)=3-ln(4x+5). Hallar el dominio de f y calcular f-1(x)
Solucion:
Para analizar el dominio de esta funcion vamos a tener que ver que 4x+5 nunca sea menor o igual a cero ya que la funcion logaritmo (natural o en cualquier base) no admite estos valores.
para esto planteamos:
de aca vemos que el dmoninio nos queda:
Ahora debemos hallar la funcion inversa, lo hacemos de la siguiente manera.
del punto P=(1;3)Solucion:
Para hallar la distancia del punto P a la recta f(x) vamos a utilizar la formula de distancia entre puntos, salvo que en este caso vamos a tener que darnos cuenta de que tenemos que escribir los posibles puntos solucion de la siguiente manera: Q=(x;4x) siendo Q la coordenada de un punto cualquiera perteneciente a la recta de f(x). Habiendo hecho esta aclaracion pasemos a resolverlo:
como podemos ver nos da como solucion dos puntos de la recta,
con x=0 obtengo Q1=(0;0) y con x=26/17 obtengo Q2 =(26/17;104/17).
2 - Sea la función cuadrática f(x)=2x²+12x+C. Determinar el valor de
para que f tenga un solo cero. Para
el valor de C hallado determinar intervalos de crecimiento y de decrecimiento
de f.Solucion:
Para hallar la solucion que nos piden vamos a tener que darnos cuenta de que hay una propiedad del discriminante de las funciones cuadraticas (si no recordas el tema hace click aqui) que dice que si el discriminante es igual a cero la funcion va a tener solo una raiz o lo que tambien se llama raiz doble.
Ahora que ya tenemos nuestra funcion f(x)=2x²+12x+18 tenemos que hallar los intervalos de crecimiento y decrecimiento, para esto vamos a averiguar cual es el valor de coordenada del vertice, sabiendo que V=(Xv; Yv) es el vertice, para hallar el Xv uso la siguiente expresion Xv= -b/2a
Xv=-12/4 => Xv= -3 para saber el valor de Yv evaluo la funcion en el valor de Xv, con lo cual nos da
f(Xv)=2(-3)²+12(-3)+18
f(Xv)=2.9 - 36 + 18
f(Xv)=18 - 36 + 18
f(Xv)= 0 = Yv
Ahora si analizamos el signo de ''a'' que en este caso a=2 y tiene signo positivo, la forma que va a tener la grafica de f(x) es como una ''U'', sabiendo esto es facil darnos cuenta de que:
intervalo de decrecimiento = (-infinito; -3)
intervalo de crecimiento = (-3; +infinito)
3 - Sea f(x)=2x+1 , g(x)=1/(x+2) y h=fog. Hallar |xER/h(x)=5|
Solucion:
Este ejercicio nos pide que hagamos una composicion de funciones, comencemos primero por hallar la expresion de h.
ahora nos piden que hallemos los valores de ''x'' tal que h(x)=5, pero observemos bien que en realidad nos pide que el modulo sea igual a 5.
4- Sea F(x)=3-ln(4x+5). Hallar el dominio de f y calcular f-1(x)
Solucion:
Para analizar el dominio de esta funcion vamos a tener que ver que 4x+5 nunca sea menor o igual a cero ya que la funcion logaritmo (natural o en cualquier base) no admite estos valores.
para esto planteamos:
de aca vemos que el dmoninio nos queda:
Ahora debemos hallar la funcion inversa, lo hacemos de la siguiente manera.
