CBC Matematica - Segundo Parcial 2012/1


1. Sea f(x)=ln(x2+ax+21). Hallar el valor de para que la recta tangente al gráfico de f en el punto de abscisa x0=-3 tenga pendiente 1/3.

En este ejercicio como nos estan pidiendo que la recta tangente al grafico tenga cierto valor de pendiente lo que tenemos que hacer es derivar la funcion y evaluarlar en el punto x=3, ahora por ahi te preguntaras ¿por que? y la respuesta es simple, la derivada f'(x) evaluada en un punto me da el valor de la pendiente de la recta tangente a la funcion f(x) en ese punto donde la evalúo, veamos como nos queda.

2. Sea  Hallar dominio, ecuaciones de asíntotas, máximos y mínimos relativos e intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f. Con la información obtenida, hacer un gráfico aproximado de f.

Para comenzar debemos hallar el dominio de la funcion, como en este caso tenemos una division tenemos que cuidar de no dividir por cero, y esto se logra para cualquier valor real excepto x=3, la notacion correcta seria:
Ahora vamos a buscar las asintotas de esta funcion, comencemos por la asintota vertical. 
Como ya vimos que el valor de x=3 quedo excluido del Dominio entonces en x=3 tendremos una Asintota Vertical.
Ahora para la Asintota Horizontal u oblicua basta con tomar el limite de la funcion de esta forma voy a ver si existen o no, comencemos calculando la asintota oblicua.
Como ya sabemos cualquier recta se la puede expresar como:
y = mx + b
pero acabamos de calcular los valores de ''m'' y ''b'' con lo cual la expresion de nuestra asintota oblicua es: y = x
Ahora lo que debemos recordar es que si tenemos asintota oblicua no podemos tener asintota horizontal y viceversa. 
Pasemos a calcular los maximos y minimos, para esto vamos a tener que derivar nuestra funcion e igualarla a cero.
como podemos ver los posibles máximos y/o mínimos son x=1 y x=5.

como se puede ver en la tabla tenemos un maximo relativo en x=1 y un minimo relativo en x=5.

como se puede ver en el grafico los intervalos de crecimiento y decrecimiento son:



3. Calcular

Para calcular esta integral voy a usar el metodo de sustitucion, veamos como nos queda.




4. Calcular el área encerrada por los gráficos de las funciones f(x)=-x2+5x y g(x)=x2-x.

Como podemos ver el area verde es el area encerrada entre las curvas y es lo que tenemos que averiguar (queda muy claro que f(x) es la curva de color azul y g(x) la de color rojo), primero tenemos que hallar los puntos en donde se cortan las funciones para saber los limites de integracion(aunque en el grafico sea facil verlo), esto lo tenemos que hacer en forma analitica, veamos como nos queda.

Ahora que tenemos los limites de integracion veamos cuanto vale el area.