CBC Matematica - Primer Parcial 2014/1



1. Hallar la función lineal  cuyo gráfico tiene pendiente -5 y pasa por el punto (2,3). ¿Para qué valores de a el punto (a,-7) pertenece al grafico de  f ?

Para resolver este ejercicio, lo primero que tenemos que hacer es encontrar la expresion de nuestra recta, ya sabemos el valor de la pendiente con lo cual tenemos un de los dos datos, lo que necesitamos ahora es saber el valor de la ordenada al origen ''b'', esto lo podemos calcular de la siguiente manera.

 y = -5x + b       aca ya pusimos en evidencia el valor de la pendiente que era uno de los datos.
3 = -5.2 + b
3 = -10 + b
3 +10 = b
13 = b
con lo cual la expresion de la recta es : y = -5x + 13
Ahora nos preguntan para que valores de ''a'' pretenecientes a los Reales el punto (a,-7) pertenece a la recta, para saber esto debemos plantear lo siguiente.
-7 = -5a + 13         planteo esto porque para que un punto pertenzca a una recta debe cumplir que al
-7 -13 = -5a           ser evaluado en el valor de ''x'' me tiene que dar el valor de ''y''.
-20 = -5a
-20/(-5) = a
4 = a
como podemos ver existe un solo punto para el cual el valor de la coordenada ''y'' vale -7 ese punto es P=(4, -7).



2. Sea f (x) = x3+6x2+5x-12. Determinar el conjunto de positividad de f sabiendo que -4 es un cero de  f.
Lo que tenemos que hacer en este caso es primero averiguar todas las raices de la funcion, despues vamos a evaluar la funcion en los distintos intervalos que nos hayan quedado, de esa forma vamos a saber cuales son los de positividad.
Al aplicar Ruffini, lo que hicimos es reducir nuestra expresion para que nos quedara una expresion cuadratica, como sabemos que -4 es una raiz podemos expresarlo asi.
(x + 4)(x2 + 2x -3) si ahora nos fijamos los coeficientes de nuestra funcion cuadratica son los números que nos dio al aplicar Ruffini, ahora aplicamos la resolvente para poder sacar las raices de la funcion cuadrática.

Ahora que ya sabemos las tres raices de la funcion vamos a evaluar en cada intervalo.
 
como podemos ver el intervalo de positividad es:    


3. Dadas las funciones y g(x)=3x-1, hallar las ecuaciones de todas las asíntotas de              h(x) = f o g(x).

Para poder sacar las asintotas primero voy a hallar la expresion de h(x).

Ahora que tengo la funcion h(x) voy a calcular sus asintotas comenzando por la vertical, para esto tengo que ver que valores de x hacen nulo el denominador.
15x - 5 = 0
15x = 5
x = 5/15
x = 1/3
como se puede ver la Asintota Vertical esta en  x = 1/3.
Ahora calculamos la Asintota Oblicua.

como podemos ver la asintota oblicua no existe por eso la pendiente nos dio cero, el valor de ''b'' nos da el valor de la asintota horizontal.



4. Sea f (x) = 5 + ln(2x - 7). Hallar  f -1(x).